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Modelo de Media-Varianza de Markowitz, PARTE I

Harry Markowitz, un académico estadounidense del área de las finanzas y premio nobel de economía en 1990, es conocido como el padre de la Teoría Moderna de Portafolios. La contribución de Markowitz, que data de los años 50, básicamente consistió en definir la manera de medir la rentabilidad y la volatilidad de un portafolio de inversión y cómo este último concepto de riesgo está íntimamente ligado con lo que conocemos como diversificación.

El cálculo de la rentabilidad de un portafolio o cartera es el simple promedio ponderado de las rentabilidades de los activos, mientras el cálculo de la volatilidad del portafolio difiere de ello. La conjunción de varios activos bajo un mismo capital de inversión no hace que estos se comporten de la misma forma como lo haría cada uno independientemente: cuando estos conforman un portafolio, le brindan al inversor el beneficio de la diversificación.

La diversificación viene dada básicamente por la correlación entre los rendimientos de cada par de activos del portafolio. Es decir, cómo se comportan los rendimientos de un activo con respecto al otro. Para medir esa correlación usamos el Coeficiente de Correlación y para calcular la Volatilidad de un portafolio usamos la desviación estándar de sus rendimientos que contienen implícitamente esta correlación. Veamos el siguiente ejemplo en el que tenemos dos activos, A y B, cuyos pesos en el portafolio o cartera son del 40% y del 60%, respectivamente:

Como se puede observar, con la cartera es posible conseguir un nivel de volatilidad incluso más bajo que cualquiera de los dos activos; esto ha sido posible gracias a la correlación negativa existente entre estos (-0,58). Ahora, gráficamente, la rentabilidad y volatilidad de estos activos y de esta cartera podría ser representada en el siguiente plano:

Es usual representar de esta manera gráfica el perfil rentabilidad-riesgo de una inversión. Ahora pensemos que no tenemos sólo 2 activos, sino 4, ¿qué otras posibles carteras se podrían generar sobre un gráfico de este tipo, si variamos los pesos (%) de los 4 activos de forma ilimitada? El universo de carteras posible quedaría representado por una gráfica como la que se muestra a continuación:

Como se puede ver, el universo de posibles carteras está representado por los puntos negros y son limitados de forma redondeada hacia la parte superior izquierda del gráfico: este límite es conocido como la Frontera Eficiente. La Frontera Eficiente es el conjunto de las carteras más eficientes del todo el universo de carteras que se puede encontrar con una combinación de activos determinada. Se les llama eficientes ya que son aquellas carteras que poseen la mayor rentabilidad y menor riesgo posible dentro de todo el conjunto; son únicas por no estar dominadas por ningún otro punto negro de la nube. En este gráfico podemos ver en verde, la representación de la frontera eficiente de nuestro ejemplo:

La consecución de estas carteras eficientes es la respuesta a los problemas de la gran mayoría de inversores o gestores de carteras, pues su problema consiste en decidir cómo conformar su cartera, es decir, en qué proporciones o pesos invertir su capital sobre los activos que posee. La solución a este problema fue encontrada por Markowitz resolviendo el siguiente problema de optimización:

Es decir, que la solución (la frontera eficiente) se encuentra maximizando la rentabilidad de las carteras para cada unos de los diferentes niveles de volatilidad existentes. La solución a este problema se puede encontrar por medio de software especializado como Matlab o la herramienta Solver de Microsoft Excel. El modelo está soportado bajo algunos supuestos que lo alejan un poco de la realidad, tales como:

– Que los rendimientos financieros siguen una distribución normal y por eso tan solo basta medirles por medio de la rentabilidad (la media) y la volatilidad (desviación típica).

– Que los inversores tienen una función de utilidad cuadrática que les permite maximizar sus inversiones bajo el marco media-varianza.

– Que no existen costos de transacción, ni impuestos y que los activos pueden ser comprados en cualquier cantidad, incluso fracciones de ellos mismos.

Estos supuestos hacen que el problema se simplifique y que el modelo pueda resolver el problema específico para el que ha sido diseñado. Entonces, tras aplicar el modelo, ya son conocidos los pesos de los activos que componen las carteras eficientes y al inversor sólo le resta escoger aquella que le satisfaga más su apetito de inversión y que vaya de acuerdo a su nivel de aversión al riesgo (este tema se tratará con mayor detalle en un próximo artículo). Otra posibilidad, es la de incluir un activo de renta fija a la cartera que le posibilite otras opciones de inversión, este tema es abordado en la Parte II de este artículo.

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